Концептуальная модель объекта управления при формализации деятельности человека-оператора в динамическом контуре слежения

Введение

При реализации операции слежения в динамическом контуре оператор старается минимизировать ошибку между прицельной меткой и отслеживаемым символом, при этом в сознании оператора формируется образ динамического объекта, так называемая «концептуальная модель» [1]. Для того чтобы построить качественную модель человека-оператора при работе в динамическом контуре, необходимо произвести синтез концептуальной модели. Мера различия между реальным объектом управления и его концептуальной моделью может служить мерой сложности деятельности человека-оператора в динамическом контуре слежения.

Концептуальная модель

Разработку замкнутого контура двухконтурной структурно-функциональной модели деятельности человека-оператора [1] следует осуществлять на базе концептуальной модели переходных режимов. Поведение объекта в переходных режимах определяется характеристиками собственных движений. Поэтому задачу формализации концептуальной модели сформулируем следующим образом. Принимая во внимание то, что человеку присущ ряд ограничений по оценке сигналов и их производных[2, 3], делается предположение, что концептуальную модель можно формализовать в виде динамической системы второго порядка, которая оптимально описывает объект управления с позиции дисперсии ошибки между её выходом и выходом объекта управления при одинаковом воздействии.

Пусть собственные движения объекта управления описываются системой линейных дифференциальных уравнений n-ного порядка


где
x - n-мерный вектор состояний объекта;
А - постоянная квадратная матрица размера n.
Предположим, что наблюдается m-мерный вектор выходных переменных y (m<n), связанный с вектором состояния следующим соотношением:


где С - заданная матрица размера m×n.
Рассмотрим m-мерную линейную модель вида:


где В - постоянная квадратная матрица размера m.

Обозначим: y⁰(t) - вектор выходных переменных, соответствующий собственным движениям объекта (1) при начальном условии x₀;
- вектор собственных движений модели (3) при начальном условии

Введем в рассмотрение вектор ошибки аппроксимации:


Тогда выражение:


определит интегральное квадратическое значение ошибки аппроксимации на интервале наблюдения [0,Т], который следует выбирать в зависимости от длительности переходного процесса в объекте управления.

Пусть вектор начальных условий x₀ является случайной векторной величиной с нулевыми математическим ожиданием и заданной матрицей дисперсий M[x₀ x₀^T]=θ.
Функционал


определит среднее значение дисперсии ошибки аппроксимации на интервале [0,T].

Поставим задачу найти матрицу В m-мерной модели, обеспечивающую минимум функционалу (6).

Собственные движения системы (1) при начальном условии x₀ описываются равенством:


где Ф - переходная матрица состояний системы (1).

Аналогично для собственных движений модели (3) при начальном условии
имеем:


Учитывая формулы (2), (4), (7) и (8), получаем следующее выражение для оптимизируемого функционала:


Минимизируем функционал (9) по матрице Ψ(t). Необходимое и достаточное условие экстремума имеет вид:


Разрешая условие (10) относительно матрицы Ψ при невырожденной матрице СθС^Т получаем:


Рассмотрим способ решения матричного уравнения (11).

Воспользуемся тем, что переходные матрицы состояний стационарных линейных систем имеют вид матричных экспонент, т.е.

Следствие из теоремы Кэли-Гамильтона [4] определяет представление произвольной аналитической функции от квадратной матрицы А порядка n в виде линейной комбинации n положительных целочисленных степеней матрицы А


где Δ - определитель Вандермонда;
λ₁, λ₂, ... , λ_n - собственные значения матрицы А;
Δ_j - определитель, получаемый из Δ подстановкой вместо элементов j-ого столбца на (f(λ₁), f(λ₂), ... , f(λ_n))^T.

Используя разложение (12), матричную экспоненту, определяющую переходную матрицу состояний объекта управления, можно представить в следующем виде


где α_j(t) - функция времени, зависящая от собственных чисел матрицы А(t), а именно

Ранее отмечалось, что исходя из возможностей человека-оператора оценивать состояния управляемого объекта, концептуальную модель следует искать в классе линейных систем не выше второго порядка. Поэтому разложение переходной матрицы состояний модели (3) определяется формулой:

где

λ₁^B, λ₂^B- собственные числа матрицы В = ||b_ij||_2×2, определяемые из характеристического уравнения

|B-λ^BI|=λ^B2-(b₁₁+b₂₂)λ^B+b₁₁b₂₂-b₂₁b₁₂=0.

Проинтегрируем разложения (13) и (14) и результат подставим в (11). Приравняв элементы матриц в левой и правой частях полученного равенства, найдем систему из четырех трансцендентных уравнений с четырьмя неизвестными элементами матрицы В.

Решение этой системы численными методами не представляет принципиальных трудностей.

Апробация модели

Проведём проверку вышеизложенного метода в рамках экспериментальных исследований. В качестве проверки оценим, насколько комфортна для человека-оператора хорошо редуцируемая модель. Иными словами, покажем, что для объектов управления, концептуальная модель которых значительно отличается от самого объекта, величина дисперсии ошибки слежения будет больше.

В эксперименте рассматриваются объекты управления, описываемые передаточными функциями:


Концептуальные модели объектов, соответственно,


Проведём априорную оценку качества управления, реализуемого оператором, для каждого объекта на основе результатов редуцирования. Вычислим дисперсию ошибки для координаты при пропускании через пары передаточных функций (W1;V1) и (W2;V2) БГШ, сглаженного фильтром W_фф=10/(p²+2p+1).


На основе полученных данных можно утверждать, что концептуальная модель первого объекта аппроксимирует первый объект лучше, чем концептуальная модель второго объекта аппроксимирует второй объект. Следовательно, внутренне представление оператора о втором объекте управления менее точно приближает объект, а значит, качество слежения за объектом, заданным функцией W₁, будет выше.

Проведём эксперимент и вычислим дисперсию ошибки слежения.


Апостериорные данные подтверждают прогноз: объект управления, заданный функцией W₂, менее удобен оператору, что приводит к большим ошибкам.

Отметим, что для обоих экспериментов траектория оператора лучше аппроксимируется выходом концептуальной модели, нежели исходного объекта управления:


Приведенные выше факты показывают, что используя метод редуцирования, можно проводить априорную оценку качества управления, реализуемого человеком для данного объекта управления.

Эксперименты показывают, что чем ближе концептуальная модель к реальному объекту управления, тем лучше человек-оператор справляется с задачей слежения.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 12-08-31290.

Литература

• Себряков Г. Г. Моделирование деятельности человека-оператора в полуавтоматических системах управления динамическими объектами // Мехатроника, Автоматизация, Управление. – М.: Новые технологии, 2010. – № 4.
  
• Себряков Г.Г. Экспериментальное исследование характеристик деятельности человека-оператора в динамических системах слежения и наведения летательных аппаратов // Характеристики деятельности оператора; под ред. Б.Ф. Ломова. – М.: ВНИИТЭ, 1983.
  
• Бурлак Е.А., Набатчиков А.М. Экспериментальные исследования деятельности человека-оператора в динамическом контуре слежения // Материалы конференции "Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах" (УТЭОСС-2012). – СПб.: ГНЦ РФ ОАО "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор", 2012. – с. 706-709.
  
• Kalman R., Bucy R. New results in linear filtering and prediction theory. Trans. ASME, №1, 1961.