Задача о прямоугольной клумбе и треугольном участке

Постановка задачи

Решение

Очевидно, что при указанной ориентации    [?]

См. ниже

, клумба с максимальной площадью будет касаться гипотенузы одной из своих вершин. Тогда площадь клумбы можно выразить как параметр от положения этой вершины на гипотенузе (расстояние p):

Далее, применив тривиальные соображения о геометрии фигур, получаем:
Найдём экстремум функции площади, отыскав корни уравнения "производная площади равна нулю" (значение корня не должно нарушить семантику формулы, обладающей ранее сформулированными ограничениями):
Таким образом, клумба будет занимать четверть площади квадрата со стороной A.

Открытый вопрос

Вообще говоря, решение, относительно исходной формулировки задачи, не полное: необходимо формально обосновать, что изменение угла вращения фрагмента (клумбы) не позволит увеличить площадь по сравнению с найденным ранее значением.


Мне не удалось найти лаконичного аналитического ответа на этот вопрос. Приглашаю желающих прокомментировать.