Требуется обновление браузера.

Задачки про два автомобиля и один квазиавтомобиль


Просмотров: 1224
06 декабря 2016 года
На заметку
Расстояние между двумя городами L км. Навстречу друг другу из этих городов вышли одновременно две автомашины. Одна имеет скорость v1 км/ч, а другая - v2 км/ч. Чему равно расстояние между машинами через t часов после выезда?


Демагогия


Среди задачек, с которыми сталкивается ученик средней школы, задача про два автомобиля/поезда/etc, двигающихся навстречу друг другу или вдогонку - на мой взгляд, значимая веха в формировании навыков моделирования процессов реального Мира и применения к ним алгебраических абстракций.

Судите сами: типовое решение сводится к вычислению некоторой новой скорости, характеризующей изменение расстояния между объектами. Только что у нас было два автомобиля, и вдруг оп - у нас один новый квазиобъект, обладающий своей скоростью.

Цитата
при добавлении к существительным образует существительные со значением внешнего подобия, близости, похожести в некоторых аспектах с тем, что названо мотивирующим именем существительным

С двумя автомобилями/туристами/пароходами/etc всё куда как интереснее, чем в задаче про лодку, которая плывет против (или по) течению. Решение "лодочной" задачи синтаксически аналогично задаче про автомобили, но в нём довольно явственно прослеживается принцип суперпозиции:

Цитата
Результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть векторная сумма воздействия этих сил.

Я посмотрел актуальный школьный учебник: в задачках, среди прочего, спрашивают о смысловой нагрузке коэффициента, представляющего собой скорость сближения/удаления объектов - это замечательно! Очень важно, чтобы ученик понял принцип решения подобных задач и прочувствовал, как формальные алгебраические операции помогают нам взглянуть на ситуацию по-новому. Решение этих задач сводит описание ситуации к эквивалентному, но оперирующему меньшим количеством объектов, что упрощает картину происходящего.

Плюс или минус?


И один из камней преткновения выглядит следующим образом. Ученик в интуитивном порыве направляет первый автомобиль по воображаемому шоссе в сторону увеличения километров (от некоторой нулевой вехи), а второй, в соответствии с условиями задачи - навстречу, то есть, в сторону уменьшения километров. Раз автомобили едут навстречу друг другу, то интуитивно напрашивается результирующая скорость:
vs=v1-v2.
Но учитель непреклонен - в его методичке сказано, что скорость сближения вычисляется по формуле:
vсближения=v1+v2.
Приехали (простите за каламбур)! Родитель хватается за сердце и жалуется на судьбу. Ребёнок зазубривает формулу, давая себя обещание сторонится впредь оторванного от жизни предмета.

Минус


2auto.jpg
LADA 2108 спешит навстречу LADA Kalina
А ведь ученик в некотором смысле думает в правильном направлении. В задаче вполне можно использовать -v2 при формирование математической модели описываемых событий: это чуть более громоздкое, но и более формальное (универсальное) решение. В школу же ходят не только за набором правил, но и за навыком творческого мышления?

Сразу оговорим, что раз скорости в задаче заданы скалярами, то физический смысл указанных величин v1 и v2 - модули скоростей. Таким образом, величины неотрицательны (возможно нулевое значение), а направление (в одномерном Мире, описанном задачей, возможны только два направления) определяется знаком перед скоростью в соответствующих выражениях.

Итак, проведём координатную ось. Для удобства поставим отправную точку первого автомобиля в координату 0 (это необязательно, и тёртые формалисты могут поставить город в точку x1(0)). Стартовую позицию второго автомобиля обозначим правее (а можно и левее - и потратить время на объяснение понятия отрицательное число) - в точке L0=L (ведь второй город удалён от первого на L км).

Запишем формулы для координат автомобилей от времени:
x1(t)=v1*t,
x2(t)=L0-v2*t.
Учтём, что искомое расстояние, выражается как
L(t)=x2(t)-x1(t).
На самом деле, надо брать модуль разности, но в нашем случае это необязательно, так как время существования Мира, описываемого задачей, ограничено моментом встречи автомобилей: второй автомобиль никогда не будет ближе к точке 0, чем первый автомобиль.

Таким образом, расстояние между машинами через t часов после выезда:
L(t)=L0-v2*t-v1*t.
Теперь общий множитель можно вынести:
L(t)=L0-t*(v2+v1).
Или, с учётом известных значений v1 и v2:
L(t)=L0-t*vсближения, где
vсближения=v1+v2.

Как видим, формула вышла правильная, хоть и модель мы описывали не по школьному канону. Минус (-v2) указывает на то, что движение второго автомобиля уменьшает его координату (в то время как движение первого автомобиля - увеличивает: +v1). Описав модель происходящих процессов в терминах координат автомобилей, мы, путём алгебраических преобразований, приходим к выводу, что оба автомобиля только сокращают расстояние (v1+v2).

Иными словами: всё зависит от используемой в решении математической модели, но всякая правильная модель приводит к верному решению задачи    [?]
Речь идёт, разумеется, о синтетических задачках из школьного курса
.

Плюс


3auto.jpg
Решение задачи вводит новый объект, свойство которого определяется свойствами исходных
Решение с плюсом, подразумеваемое как единственно верное, базируется на более конкретной модели.

Модель опирается на расстояние L, имеющее начальное значение L0, и процесс, это расстояние уменьшающий. Процесс уменьшения определяется движением двух автомобилей (со скоростями v1 и v2) и синтаксически может быть представлен через движение единого объекта, сокращающего расстояние с некоторой скоростью vсближения. Так как автомобили имеют разные направления движения, то обе машины изменяют расстояние с одним знаком (в данном случае - уменьшают), поэтому
vсближения=v1+v2,
а L(t)=L0-t*vсближения.

Какие всё-таки знаки? (как решать задачу)


Предположим, Вы прочитали изложенное выше и теперь всё что Вы хотите: решить уже эту несчастную задачу хоть как-нибудь. В таблице ниже я привёл типовые случаи и их решения.

Объекты движутся...Расстояние в процессе движения...Расстояние через t часов    [?]
Скорости должны быть заданы (или приведены) в км/ч
навстречууменьшаетсяvсближения=v1+v2
L(t)=L0-t*vсближения
1-ый за 2-ымзависит от соотношения скоростейvсближения=v1-v2 или vудаления=v2-v1
L(t)=L0-t*vсближения или L(t)=L0+t*vудаления
друг от другаувеличиваетсяvудаления=v1+v2
L(t)=L0+t*vудаления

Наиболее интересен случай погони. Вы должны самостоятельно оценить: происходит (в ходе движения автомобилей) сближение или удаление. Исходя из характера процесса, выбирается одна или другая формула для L(t). Если Вы затрудняетесь, то посчитайте на отдельном листочке обе скорости: выберите ту, что положительна.

Например, если v1=10 км/ч, а v2=8 км/ч, то происходит сближение, так как vсближения=10-8=2>0 (в свою очередь vудаления=8-10<0). Соответственно: L(t)=L0-t*vсближения=L0-t*2.

Демагогия снова


Обилие формул вызвано недостаточно глубокой формализацией решения. Рассматриваются частные случаи, привязанные к характеру изменения расстояния. Характер, в свою очередь, определяется конкретными значениями скоростей. Таким образом, решить задачу в общем виде не получается: необходимо оценить скорости. (Учитель физики ещё скажет "спасибо" за эту привычку "подставлять чиселки".)

Конкретной проблемой на пути к универсализации решения является незнание учениками (на данном этапе) отрицательных чисел. Бифуркация алгоритма решения призвана завуалировать синтаксические признаки (положительность или отрицательность) семантическими качествами: "сближение со скоростью -v км/ч скоростью" - это "удаление со скоростью +v км/ч". Действительно: vсближения=v1-v2=-vудаления=-(v2-v1)=v1-v2.

Некоторую универсальность даёт решение в терминах координат (см. выше раздел "Минус"). Но здесь конкретика проявляется при описании выражений для координат (с каким знаком входит в выражение скорость).

Наиболее универсально: кодировать направления движения автомобилей через величины скоростей, используя для этого знак при модуле скорости.

x1(t)=0+v1*t,
x2(t)=L0+v2*t.
L(t)=x2(t)-x1(t).
Подставим выражения для координат:
L(t)=L0+t*(v2-v1).

Возьмём, для примера, следующие модули скоростей |v1|=10 км/ч, |v2|=8 км/ч и рассмотрим разные случаи взаимного движения автомобилей.

Объекты движутся...Решение по "универсальной" формуле"Школьное" решение
навстречуv1=|v1|=10, v2=-|v2|=-8
L(t)=L0+t*(-8-10)=L0-t*18
vсближения=10+8=18
L(t)=L0-t*18
1-ый за 2-ымv1=|v1|=10, v2=|v2|=8
L(t)=L0+t*(8-10)=L0-t*2
vсближения=10-8=2
L(t)=L0-t*2
друг от другаv1=-|v1|=-10, v2=|v2|=8
L(t)=L0+t*(8-(-10))=L0+t*18
vудаления=10+8=18
L(t)=L0+t*18

Вот такие взаимные переходы семантики и синтаксиса. Прочувствуйте как разные модели описывают ситуацию, оперируя абстракциями разного уровня. Оцените насколько упрощается (становится универсальным) решение, если Вы обладаете необходимым математическим аппаратом.

Запись опубликована в категориях:

ЕГЭ и прочие радости  
 

Внешние источники:

  1. Задача о лодке и течении

Комментарии

Инкогнито
  Загружаем captcha
Инкогнито
11 Инкогнито  12 декабря 2016 23:38
> В школу же ходят не только за набором правил, но и за навыком творческого мышления?
Ahahah! Ahahahah! No.