Задачки про два автомобиля и один квазиавтомобиль

Демагогия

Среди задачек, с которыми сталкивается ученик средней школы, задача про два автомобиля/поезда/etc, двигающихся навстречу друг другу или вдогонку - на мой взгляд, значимая веха в формировании навыков моделирования процессов реального Мира и применения к ним алгебраических абстракций.

Судите сами: типовое решение сводится к вычислению некоторой новой скорости, характеризующей изменение расстояния между объектами. Только что у нас было два автомобиля, и вдруг оп - у нас один новый квазиобъект, обладающий своей скоростью.


С двумя автомобилями/туристами/пароходами/etc всё куда как интереснее, чем в задаче про лодку, которая плывет против (или по) течению. Решение "лодочной" задачи синтаксически аналогично задаче про автомобили, но в нём довольно явственно прослеживается принцип суперпозиции:


Я посмотрел актуальный школьный учебник: в задачках, среди прочего, спрашивают о смысловой нагрузке коэффициента, представляющего собой скорость сближения/удаления объектов - это замечательно! Очень важно, чтобы ученик понял принцип решения подобных задач и прочувствовал, как формальные алгебраические операции помогают нам взглянуть на ситуацию по-новому. Решение этих задач сводит описание ситуации к эквивалентному, но оперирующему меньшим количеством объектов, что упрощает картину происходящего.

Плюс или минус?

И один из камней преткновения выглядит следующим образом. Ученик в интуитивном порыве направляет первый автомобиль по воображаемому шоссе в сторону увеличения километров (от некоторой нулевой вехи), а второй, в соответствии с условиями задачи - навстречу, то есть, в сторону уменьшения километров. Раз автомобили едут навстречу друг другу, то интуитивно напрашивается результирующая скорость:
Но учитель непреклонен - в его методичке сказано, что скорость сближения вычисляется по формуле:
Приехали (простите за каламбур)! Родитель хватается за сердце и жалуется на судьбу. Ребёнок зазубривает формулу, давая себя обещание сторонится впредь оторванного от жизни предмета.

Минус

А ведь ученик в некотором смысле думает в правильном направлении. В задаче вполне можно использовать -v₂ при формирование математической модели описываемых событий: это чуть более громоздкое, но и более формальное (универсальное) решение. В школу же ходят не только за набором правил, но и за навыком творческого мышления?

Сразу оговорим, что раз скорости в задаче заданы скалярами, то физический смысл указанных величин v₁ и v₂ - модули скоростей. Таким образом, величины неотрицательны (возможно нулевое значение), а направление (в одномерном Мире, описанном задачей, возможны только два направления) определяется знаком перед скоростью в соответствующих выражениях.

Итак, проведём координатную ось. Для удобства поставим отправную точку первого автомобиля в координату 0 (это необязательно, и тёртые формалисты могут поставить город в точку x₁(0)). Стартовую позицию второго автомобиля обозначим правее (а можно и левее - и потратить время на объяснение понятия отрицательное число) - в точке L₀=L (ведь второй город удалён от первого на L км).

Запишем формулы для координат автомобилей от времени:
Учтём, что искомое расстояние, выражается как
На самом деле, надо брать модуль разности, но в нашем случае это необязательно, так как время существования Мира, описываемого задачей, ограничено моментом встречи автомобилей: второй автомобиль никогда не будет ближе к точке 0, чем первый автомобиль.

Таким образом, расстояние между машинами через t часов после выезда:
Теперь общий множитель можно вынести:
Или, с учётом известных значений v₁ и v₂:

Как видим, формула вышла правильная, хоть и модель мы описывали не по школьному канону. Минус (-v₂) указывает на то, что движение второго автомобиля уменьшает его координату (в то время как движение первого автомобиля - увеличивает: +v₁). Описав модель происходящих процессов в терминах координат автомобилей, мы, путём алгебраических преобразований, приходим к выводу, что оба автомобиля только сокращают расстояние (v₁+v₂).

Иными словами: всё зависит от используемой в решении математической модели, но всякая правильная модель приводит к верному решению задачи    [?]

Речь идёт, разумеется, о синтетических задачках из школьного курса

.

Плюс

Решение с плюсом, подразумеваемое как единственно верное, базируется на более конкретной модели.

Модель опирается на расстояние L, имеющее начальное значение L₀, и процесс, это расстояние уменьшающий. Процесс уменьшения определяется движением двух автомобилей (со скоростями v₁ и v₂) и синтаксически может быть представлен через движение единого объекта, сокращающего расстояние с некоторой скоростью v_{сближения}. Так как автомобили имеют разные направления движения, то обе машины изменяют расстояние с одним знаком (в данном случае - уменьшают), поэтому

Какие всё-таки знаки? (как решать задачу)

Предположим, Вы прочитали изложенное выше и теперь всё что Вы хотите: решить уже эту несчастную задачу хоть как-нибудь. В таблице ниже я привёл типовые случаи и их решения.

Объекты движутся...	Расстояние в процессе движения...	Расстояние через t часов    [?] Скорости должны быть заданы (или приведены) в км/ч
навстречу	уменьшается	vсближения=v1+v2 L(t)=L0-t*vсближения
1-ый за 2-ым	зависит от соотношения скоростей	vсближения=v1-v2 или vудаления=v2-v1 L(t)=L0-t*vсближения или L(t)=L0+t*vудаления
друг от друга	увеличивается	vудаления=v1+v2 L(t)=L0+t*vудаления

Наиболее интересен случай погони. Вы должны самостоятельно оценить: происходит (в ходе движения автомобилей) сближение или удаление. Исходя из характера процесса, выбирается одна или другая формула для L(t). Если Вы затрудняетесь, то посчитайте на отдельном листочке обе скорости: выберите ту, что положительна.

Например, если v₁=10 км/ч, а v₂=8 км/ч, то происходит сближение, так как v_{сближения}=10-8=2>0 (в свою очередь v_{удаления}=8-10<0). Соответственно: L(t)=L₀-t*v_{сближения}=L₀-t*2.

Демагогия снова

Обилие формул вызвано недостаточно глубокой формализацией решения. Рассматриваются частные случаи, привязанные к характеру изменения расстояния. Характер, в свою очередь, определяется конкретными значениями скоростей. Таким образом, решить задачу в общем виде не получается: необходимо оценить скорости. (Учитель физики ещё скажет "спасибо" за эту привычку "подставлять чиселки".)

Конкретной проблемой на пути к универсализации решения является незнание учениками (на данном этапе) отрицательных чисел. Бифуркация алгоритма решения призвана завуалировать синтаксические признаки (положительность или отрицательность) семантическими качествами: "сближение со скоростью -v км/ч скоростью" - это "удаление со скоростью +v км/ч". Действительно: v_{сближения}=v₁-v₂=-v_{удаления}=-(v₂-v₁)=v₁-v₂.

Некоторую универсальность даёт решение в терминах координат (см. выше раздел "Минус"). Но здесь конкретика проявляется при описании выражений для координат (с каким знаком входит в выражение скорость).

Наиболее универсально: кодировать направления движения автомобилей через величины скоростей, используя для этого знак при модуле скорости.

Подставим выражения для координат:

Возьмём, для примера, следующие модули скоростей |v₁|=10 км/ч, |v₂|=8 км/ч и рассмотрим разные случаи взаимного движения автомобилей.

Объекты движутся...	Решение по "универсальной" формуле	"Школьное" решение
навстречу	v1=|v1|=10, v2=-|v2|=-8 L(t)=L0+t*(-8-10)=L0-t*18	vсближения=10+8=18 L(t)=L0-t*18
1-ый за 2-ым	v1=|v1|=10, v2=|v2|=8 L(t)=L0+t*(8-10)=L0-t*2	vсближения=10-8=2 L(t)=L0-t*2
друг от друга	v1=-|v1|=-10, v2=|v2|=8 L(t)=L0+t*(8-(-10))=L0+t*18	vудаления=10+8=18 L(t)=L0+t*18

Вот такие взаимные переходы семантики и синтаксиса. Прочувствуйте как разные модели описывают ситуацию, оперируя абстракциями разного уровня. Оцените насколько упрощается (становится универсальным) решение, если Вы обладаете необходимым математическим аппаратом.