Коварные невидимые горизонтали

Постановка задачи

Принесли мне недавно посмотреть актуальные задания по географии для 5-ого класса. Так как на оригинальной карте уже был выполнен ряд построений, то здесь привожу свою "кавер-версию" оной:


Итак, парочка заданий:

Комментарий к решению

Никогда особо не увлекался географией, поэтому подошёл к решению с формальной стороны. Я предлагаю алгоритм решения, который любителям географии может показаться странным и отрешённым от сути проблемы.

Вопрос №2 - формальное решение

Ну, тут всё просто: находим известную горизонталь (тут подписана только одна - 170 м.) - обозначим её высоту как H, находим ещё одну отметку, желательно, с максимально удалённой по модулю величиной. Из известных высот остаются 196 м., 164,7 м. и 180,5 м. Точка с наибольшим перепадом высот, относительно 170 м. - 196 м., обозначим её высоту как P.

Теперь надо посчитать количество горизонталей (N) между двумя выбранными точками. Необходимо учесть, что в процессе движения от первой точки ко второй, одна и та же высота может повторяться. Для правильного подсчёта, необходимо выбрать ближайшую к точке P точку на горизонтали H. (Или не считать повторяющиеся горизонтали: здесь аналогия с открывающимися/закрывающимися скобками и уровнем вложенности.)

Например, если двигаться к точке 180,5 из точки A (см. рисунок), то N=5, а если из точки B (и это правильно), то - 2.

Двигаясь из точки A к отметке 196 м., мы пересечём N=5 горизонталей.

Искомая величина Δ, удовлетворяет системе неравенств:


Эту систему я собрал из двух простых условий: расстояние между горизонталями должно быть таким, чтобы одноврменно

• его хватало на N горизонталей;
  
• его не хватало на (N+1) горизонталь.
  

В нашем случае: H=170, P=196, N=5 - таким образом:


Вычислим:


Логично предположив, что ответ должен быть целым, найдём решение системы:


Ответ: Δ=5 м.

Мы могли выбрать и любую другую высоту в качестве точки P, например, 164,7 м. В этом случае:


Этой системе, помимо найденного Δ=5, удовлетворяет и Δ=3 и Δ=4.

Вопрос №2 - решение для внимательных

Если прежде чем отвечать на второй вопрос, прочитать все предложенные задания, то из пятого можно узнать, что утолщённая горизонталь соединяет точки с высотой 175 м. Так как соседняя горизонталь подписана (170 м.), то:

Вопрос №5

Не знаю как Вас, а меня этот вопрос поразил формулировкой: на плане, мол, есть ещё особые горизонтали, но я Вам их не покажу - сами угадайте. Какого цвета невидимая линия? И, кстати, если это вопрос - почему в конце предложения нет вопросительного знака? Ах, да - мы же не на "русском".

Я, конечно, не блещу соображалкой, поэтому потребовалось перечитать вопрос несколько раз, пока, наконец, он не развернулся в понимании в следующую формулировку:


Рассуждая таким образом, можно заключить, что максимальный перепад высот относительно утолщённой горизонтали (175 м.) меньше искомого шага Δ_B.


Проанализировав план, приходим к выводу:


Вычислим:


Второе условие избыточно, таким образом:


Анализируя план ранее, мы пришли к выводу, что расстояние между горизонталями (некоторые из которых утолщённые) - Δ=5 м. Значит, Δ_B делится на 5 без остатка (иначе не попадёт в сетку).

Известная нам утолщённая горизонталь должна удовлетворять искомой Δ_B, то есть 175 должно делиться на Δ_B без остатка.

Резюмируя:

• Δ_B>21;
  
• Δ_B/5 - целое;
  
• 175/Δ_B - целое.
  

Алгоритм следующий: найдём минимальное Δ_B из условий (1) и (2), полученную оценку подставим в условие (3), получив максимальный делитель для последующего перебора (если x минимален, то y=const/x - максимален).

• Δ_B>21;
  
• Δ_B/5 - целое;
  

Находим минимальное Δ_B^min, как ( - округление в большую сторону):


Так как 175/Δ_B^min=7, то осталось проверить числа 6, 5, 4, … Приступим к перебору.

I	ΔB=175/I
7	25
6	дробное
5	35
4	дробное
3	дробное
2	дробное
1	175

Таким образом, получаем три возможных Δ_B:


но нас и предупреждали: "Предложите свои варианты ответа".

Если уж выбирать единственный ответ, то число должно быть удобным в использовании в качестве шага по высоте. Думается адекватным, сформулировать в качестве критерия "эргономичности числа" следующее выражение:


где - десятичный логарифм, k, n - целые, положительные числа. Δ_B, для которого будет выполняться указанное тождество при минимальном k - подходит. Данное тождество позволит нам найти число, которое быстрее всего (иначе говоря - при умножении на минимальный множитель) даст число вида 10ⁿ, то есть 10, 100, 1000 и так далее, если такое вообще возможно.

k	n для ΔB1	n для ΔB2	n для ΔB3
1	дробное	дробное	дробное
2	дробное	дробное	дробное
3	дробное	дробное	дробное
4	2	дробное	дробное

Таким образом,
Ответ: Δ_B=Δ_B1=25 м.