Требуется обновление браузера.

Волшебная дюжина


Просмотров: 532
19 февраля 2017 года
Обновление: 24 февраля 2017
Цитата

В манускриптах, тайны древних,
Как всегда, мистики полны,
Объяснений достоверных
Здравые требуют умы.

В заметке "Дедовский" способ генерации стандартного шума из равномерного я упомянул формулу дисперсии равномерного распределения:

(b-a)2/12.

Именно из этой формулы, в алгоритм генерации попадает одно из "магических чисел" (то есть, по выражению Стефана К. Дьюхэрста, число без внятной семантики, могущее означать всё что угодно). Тогда я не стал подробно останавливаться на этом, но два обстоятельства подтолкнули меня рассмотреть эту формулу детальнее:

  • Желание полностью разобрать алгоритм генерации.
  • Желание вспомнить: как вообще выводятся подобные формулы (мат. ожидания, дисперсии, проч.)?

Непрерывное равномерное распределение на отрезке [a;b] обладает следующей функцией плотности вероятности f(x):


Соответственно, функция распределения F(x) имеет вид:


(F(x), впрочем, для вывода искомых формул не нужна.)

По определению, формулы математического ожидания и дисперсии н.с.в.    [?]
непрерывная случайная величина
выражаются через f(x), как:


Подставив в формулу м.о.    [?]
математическое ожидание
конкретную функцию плотности вероятности, получим:


Теперь вычислим дисперсию.

Нам необходимо будет взять кое-какой интеграл, для чего воспользуемся свойством


тогда интеграл:


Возвращаемся к дисперсии (аналогично случаю с M[X], рассмотрим три интервала, два из которых - априори нулевые):

воспользовавшись свойством формулы сокращённого умножения многочленов, получим:

Вот и образовалась дюжина.

Запись опубликована в категориях:

Алгоритмы и аспекты Scrupulosus  
 

Комментарии

Инкогнито
  Загружаем captcha