Волшебная дюжина

Обновление: 24 февраля 2017

В заметке "Дедовский" способ генерации стандартного шума из равномерного я упомянул формулу дисперсии равномерного распределения:


Именно из этой формулы, в алгоритм генерации попадает одно из "магических чисел" (то есть, по выражению Стефана К. Дьюхэрста, число без внятной семантики, могущее означать всё что угодно). Тогда я не стал подробно останавливаться на этом, но два обстоятельства подтолкнули меня рассмотреть эту формулу детальнее:

• Желание полностью разобрать алгоритм генерации.
  
• Желание вспомнить: как вообще выводятся подобные формулы (мат. ожидания, дисперсии, проч.)?
  

Непрерывное равномерное распределение на отрезке [a;b] обладает следующей функцией плотности вероятности f(x):


Соответственно, функция распределения F(x) имеет вид:


(F(x), впрочем, для вывода искомых формул не нужна.)

По определению, формулы математического ожидания и дисперсии н.с.в.    [?]

непрерывная случайная величина

выражаются через f(x), как:


Подставив в формулу м.о.    [?]

математическое ожидание

конкретную функцию плотности вероятности, получим:


Теперь вычислим дисперсию.

Нам необходимо будет взять кое-какой интеграл, для чего воспользуемся свойством


тогда интеграл:


Возвращаемся к дисперсии (аналогично случаю с M[X], рассмотрим три интервала, два из которых - априори нулевые):

воспользовавшись свойством формулы сокращённого умножения многочленов, получим:

Вот и образовалась дюжина.