Две задачи о двух кубиках

Несколько месяцев назад, коллега предложил мне две занятных задачи на применение теории вероятностей. Обе задачи в своих формулировках используют два шестигранных кубика и могут быть решены как очень сложно, так и элементарно. Итак.

Дубли

Первая задача кажется довольно примитивной, и после её прочтения в голове сразу складывается решение следующего вида.


Иными словами: вероятность равна отношению количества "удачных" исходов (n) к общему количеству (N) исходов эксперимента.

Очевидно, на руках у нас 2d6-генератор случайных чисел (то есть 2 игральные шестигранные кости), который может сгенерировать всего 6*6 или 6² вариантов.

Количество дублей - количество пар одинаковых значений первого и второго кубика. Очевидно, кубики образуют пары (1,1), (2,2), ..., (6,6) - таким образом, существует 6 возможных пар: для каждой грани первого кубика имеется такая же грань на втором.

Исходя из намеченного алгоритма решения, вычисляем результат n/N и обнаруживаем, что он равен 1/6.

На самом деле, обнаружив принцип образования пар (то есть интересующих нас исходов), можно прийти к выводу, что задача сводится к более простой формулировке:



Из этой формулировки несложно заключить, что искомая вероятность обратно пропорциональна числу граней в кубике. Задача, в общем-то, об одном кубике.

Простые числа

Оценив количество простых и "обычных" чисел, попробуем построить решение, базирующееся именно на подсчёте отношения простых чисел к общему количеству.

Введём обозначения:
A₁ - событие "первое число - простое, второе - любое",
A₂ - событие "второе число - простое, первое - любое".

Согласно принципу включений-исключений (мы уже рассматривали его ранее - см. первую ссылку), вероятность объединения этих событий (то есть реализации хотя бы одного из них, с учётом их пересечения) вычисляется следующим образом:


Для вычисления вероятностей необходимо определиться с простыми числами. О принадлежности единицы могут возникнуть сомнения:


Таким образом:
2, 3, 5 - простые,
1, 4, 6 - не простые.

Тогда событию A₁ соответствует 18 исходов: 3 допустимых значения на первом кубике, 6 любых допустимых - на втором. Аналогично, 18 исходов соответствую и событию A₂.

Пересечению событий соответствует 9 исходов: 3 допустимых значения на первом кубике, и столько же на втором.

Как уже отмечалось выше, всего возможно 36 исходов.


Искомая вероятность является дополнением найденной: P = 1 - (3/4) = 1/4.

В ходе вычислений можно обратить внимание на общий знаменатель. Действительно: так как искомые вероятности пропорциональны количеству элементов в соответствующих множествах, то можно использовать принцип включений-исключений для множеств. В формулах ниже мы допустим вольность: не будем вводить новые обозначения, а на некоторое время будем подразумевать под A₁ и A₂ - не сами события, а множества состояний системы (из двух брошеных кубиков), которые удовлетворяют соответствующим событиям.


Вычислим количество элементов в интересующем нас множестве (дополнении): 36 - 27 = 9.
А теперь - нормируем результат по количеству элементов в универсуме: 9/36 = 1/4.

На самом деле, не имеет смысла рассматривать систему из двух кубиков. Гораздо проще воспринимать кубики - как один и тот же в двух последовательных бросках: ведь между состояниями первого и второго кубика нет никакой связи. Подобно тому, как число, выпавшее на первом кубике, не даёт нам дополнительной информации о результате броска второго, так и значение, выпавшее при первом броске кости не влияет на последующее. Вот такие переходы между пространством (два кубика в один момент времени) и временем (один кубик в два момента времени):


Итак, из 6 возможных чисел - три простых. Последнее позволяет утверждать, что, для системы из одного кубика, вероятность выпадения простого числа равна вероятности невыпадения простого числа, и равна данная вероятность - 1/2.

Таким образом, имеем 2d2 генератор, где только одно состояние (из 2²=4) удовлетворяет искомому событию (P=1/4).

В общем-то, любой программист вам скажет, что двумя битами можно закодировать 4 состояния. Тот же программист припомнит булевы функции, а именно - конъюнкцию: если обозначить интересующий нас признак ("выпавшее число - не простое"    [?]

Для "простое" ситуация аналогична, но в задаче про это не спрашивают

) за "1", то истинность функции "логическое И" (которая неявно фигурирует в тексте задаче) будет соответствовать искомой комбинации аргументов (значений кубиков). Конъюнкция истинна для одной из четырёх комбинаций значений аргументов. Снова 1/4, но гораздо меньшими усилиями.