Требуется обновление браузера.

Вычисление площади фигуры. Часть 1


Просмотров: 661
01 января 2017 года

Постановка задачи


На заметку
Вычислить площадь четырёхугольника, изображённого на рисунке:
Ограничения: формулы площади трапеции, треугольника и любых фигур, кроме прямоугольника - учащийся ещё не знает.
(То есть решение требует базовых знаний уровня 5-го класса.)


Общие комментарии


Во-первых, надо помнить, что площадь обладает свойством аддитивности.

Цитата
Аддитивность (лат. additivus — прибавляемый) — свойство величин, состоящее в том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям, в некотором классе возможных разбиений объекта на части.

Иными словами: мы можем провести разбиение исходной фигуры на конечное количество фигур и вычислить сумму их площадей. Смысл такой декомпозиции - переход от вычисления площади сложной фигуры к работе с примитивами, чьи площади вычисляются относительно просто.

Площадь прямоугольника со сторонами a и b равна: S=a*b. (Предполагается, что эту формулу учащийся знает.)

Первый вариант решения


Введём две новых точки на рисунке: T и R. Теперь площадь фигуры представима суммой площадей фигур I, II и III.


S=SMTK+STRPK+SRNP

Теперь вычислим площади фигур, входящих в разбиение. Добавим ещё две точки, чтобы однозначно запутать читателя привязать рассуждения к рисунку:


SMTK - площадь треугольника MTK, составляет половину площади прямоугольника MTKM` (согласно рисунку):

SMTK=(1/2)*SMTKM`=(KT*MT)/2.

Далее - прямоугольник TRPK, очевидно:

STRPK=KT*TR.

SRNP вычисляется аналогично SMTK, через площадь RNN`P. Дополнительно используем факт равенства PR и KT:

SRNP=(1/2)*SRNN`P=(KT*RN)/2.

Результируюущая площадь:

S = (KT*MT)/2 + KT*TR + (KT*RN)/2 =
= KT * ( MT/2 + TR + RN/2 ).

На заметку
S = KT * ( MT/2 + TR + RN/2 )
S=3*(2/2+2+4/2)=3*(1+2+2)=15 ед2.


Второй вариант решения


Можно "пойти другим путём" и вычесть из площади "фантомного" прямоугольника M'MNN' площади двух треугольников - M'MK и PNN':

S=SM'MNN'-SM'MK-SPNN'

Не будем второй раз подробно разбирать вычисление площадей фрагментов фигуры - запишем:

S = KT*MN - (KT*MT)/2 - (KT*RN)/2 =
= KT * ( -MT/2 + MN -RN/2 ) =
представим MN как сумму отрезков
= KT * ( -MT/2 + MT + TR + RN -RN/2 ) =
упростим
= KT * ( MT/2 + TR + RN/2 ).

На заметку
S = KT * ( MT/2 + TR + RN/2 )
S=3*(2/2+2+4/2)=15 ед2.


Проверка по формуле площади трапеции


Формула (одна из) площади трапеции со сторонами a, b и высотой h равна: S=(a+b)*h/2. Эту формулу учащийся не знает, но воспользуемся ею здесь для демонстрации правильности решения.

S = ( KP + MT + TR + RN ) * KT/2 =
внесём множитель 1/2
= KT * [ MT/2 + ( KP + TR )/2 + RN/2 ] =
согласно рисунку, KP и TR равны
= KT * ( MT/2 + 2*TR/2 + RN/2 ) =
= KT * ( MT/2 + TR + RN/2).

На заметку
S = KT * ( MT/2 + TR + RN/2 )
S=3*(2/2+2+4/2)=15 ед2.

Вот и всё!

Запись опубликована в категориях:

ЕГЭ и прочие радости  
 

Комментарии

Инкогнито
  Загружаем captcha